Question

定義在非零實數集上的函數f（x）對任意非零實數x，y恒有f（xy）=f（x）+f（y），當x∈（0，+∞）時，f（x）為增函數，
且f（2）=1．
（1）求f（1），f（-1）的值，并求證：f（x）為偶函數；
（2）判斷并證明f（x）在（-∞，0）的單調性；
（3）解不等式：f（x）-f（x-2）＞3．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=f（-1）=0，從而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）為偶函數；
（2）結論是：f（x）在（-∞，0）為單調減函數；證明如下：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）與零比較，得出f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-∞，0）上是減函數．
（3）先得出f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），根據奇偶性和單調性得|x|＞|8x-16|解得答案即可．

解答：解：（1）令x=y=1得：
f（1）=f（-1）=0，
f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）為偶函數；
（2）f（x）在（-∞，0）為單調減函數；
設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
對f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-∞，0）上是減函數．
（3）f（2）=1得f（4）=2，f（8）=3，
所以f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
根據奇偶性和單調性得|x|＞|8x-16|，x²＞（8x-16）²，即63x²-256x+256＜0
解得：

16

9

＜x＜

16

7

且x≠2．

點評：本小題主要考查抽象函數及其應用、函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．