Question

如圖，橢圓C₀：(a＞b＞0，a，b為常數)，動圓C₁：x²＋y²＝t₁²，b＜t₁＜a．點A₁，A₂分別為C₀的左，右頂點，C₁與C₀相交于A，B，C，D四點．

(1)求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
(2)設動圓C₂：x²＋y²＝t₂²與C₀相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：t₁²＋t₂²為定值．

Answer 1

（1）(x＜－a，y＜0)   （2）見解析

(1)解　設A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，
又知A₁(－a,0)，A₂(a,0)，
則直線A₁A的方程為y＝(x＋a)，①
直線A₂B的方程為y＝(x－a)．②
由①②得y²＝(x²－a²)．③
由點A(x₁，y₁)在橢圓C₀上，故．
從而y₁²＝b²，
代入③得(x＜－a，y＜0)．
(2)證明　設A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，
故x₁²y₁²＝x₂²y₂²．
因為點A，A′均在橢圓上，
所以b²x₁²＝b²x₂²．
由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以x₁²＋x₂²＝a²．從而y₁²＋y₂²＝b²，
因此t₁²＋t₂²＝a²＋b²為定值．