Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（1）若a2 ， a3 ， a2+a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2=2，求e12+e22+…+en2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，即a1=1，

又由Sn+1=qSn+1，則S2=qa1+1，則a2=q，

又有S3=qS2+1，則有a3=q2，

若a2，a3，a2+a3成等差數(shù)列，即2a3=a2+（a2+a3），

則可得q2=2q，（q＞0），

解可得q=2，

則有Sn+1=2Sn+1，①

進(jìn)而有Sn=2Sn﹣1+1，②

①﹣②可得an=2an﹣1，

則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

則an=1×2n﹣1=2n﹣1

（2）

解：根據(jù)題意，有Sn+1=qSn+1，③

同理可得Sn=qSn﹣1+1，④

③﹣④可得：an=qan﹣1，

又由q＞0，

則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列，則an=1×qn﹣1=qn﹣1；

若e2=2，則e2= =2，

解可得a2= ，

則a2=q= ，即q= ，

an=1×qn﹣1=qn﹣1=（ ）n﹣1，

則en2=1+an2=1+3n﹣1，

故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+

【解析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式可得a2與a3的值，又由a2 ， a3 ， a2+a3成等差數(shù)列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2與a3的值可得q2=2q，解可得q的值，進(jìn)而可得Sn+1=2Sn+1，進(jìn)而可得Sn=2Sn﹣1+1，將兩式相減可得an=2an﹣1 ， 即可得數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，將兩式相減可得an=qan﹣1 ， 分析可得an=qn﹣1；又由雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2=2，分析可得e2= =2，解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，進(jìn)而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再次由雙曲線的幾何性質(zhì)可得en2=1+an2=1+3n﹣1 ， 運(yùn)用分組求和法計(jì)算可得答案；
本題考查數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的求和，涉及雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，注意題目中q＞0這一條件．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．