Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點坐標分別是、，并且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與圓：相切，并與橢圓交于不同的兩點、.當，且滿足時，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設出橢圓方程，根據題意列方程組，求出待定系數的值；（2）可設直線方程為，根據其與圓相切可得，聯立方程組可得，根據韋達定理求出和，，所以整理可得，根據向量數量積的定義可得，換元設，則，最后再根據均值不等式求出面積的取值范圍.

試題解析：（1）設橢圓方程為，

由條件有解得，.

∴橢圓的方程為：.

（2）依題結合圖形知直線的斜率不為零，

∵直線即與圓：相切，

∴得.

設，，

由

消去整理得，

得.

又，點到直線的距離，

∴

，

.

,令，則，

∴，

∴，∴的取值范圍為：.