Question

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求

BN

的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出B，N兩點的坐標，代入空間兩點間的距離公式，即可求出BN的長；
（2）求出

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），利用向量的夾角公式，即可求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）證明

A1B

•

C1M

=0，即可證明A₁B⊥C₁M．

解答：（1）解：以C為坐標原點，以

CA

、

CB

、

CC1

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系C-xyz，如圖
由題意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|

BN

|=

12+(-1)2+12

=

3

．
（2）解：依題意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
∴

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），
∴

BA1

•

CB1

=3．
∴|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 || CB1 |

=

30

10

，
∴異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值為

30

10

．
（3）證明：∵

A1B

=（-1，1，-2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴

A1B

•

C1M

=-1×

1

2

+1×

1

2

+（-2）×0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

，即A₁B⊥C₁M．

點評：本題考查直線與直線垂直，考查線線角，其中建立空間坐標系，將線線垂直，線線角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．