Question

（2013•大興區(qū)一模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：直線A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）判斷A₁B與平面ADC₁的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用直三棱柱的性質即可得出四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，AA₁⊥面ABC，∴BC∥B₁C₁，AA₁⊥BC，再利用等邊三角形ABC的性質可得AD⊥BC，利用線面垂直的判定和性質定理即可證明；
（II）利用平行四邊形的性質、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；

解答：證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥BC，
在等邊△ABC中，D是BC中點，∴AD⊥BC
∵在平面A₁AD中，A₁A∩AD=A，∴BC⊥面A₁AD
又∵A₁D?面A₁AD，∴A₁D⊥BC
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴B₁C₁∥BC
∴A₁D⊥B₁C₁
（Ⅱ） 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
在平行四邊形ACC₁A₁中聯結A₁C，交于AC₁點O，連接DO．
故O為A₁C中點．
在三角形A₁CB中，D 為BC中點，O為A₁C中點，∴DO∥A₁B．
因為DO?平面DAC₁，A₁B?平面DAC₁，∴A₁B∥面ADC₁
∴A₁B與面ADC₁平行．

點評：熟練掌握直三棱柱的性質、等邊三角形的性質、線面垂直的判定和性質定理、平行四邊形的性質、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理是就如同的關鍵．