Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，的延長線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)、分別做軸的垂線，垂足分別為、.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線，使得點(diǎn)平分線段，？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長的關(guān)系可求出,再由點(diǎn) 在橢圓上,可求出 的值,從而求出橢圓方程; (2)假設(shè)存在,由直線方程可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),由已知條件可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去 ,得到關(guān)于 的一元二次方程,由韋達(dá)定理可求出 的表達(dá)式以及直線 的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,可求出的表達(dá)式,進(jìn)而求出的表達(dá)式, 由平分線段，求出的值,得出直線方程.

試題解析:（1）由題意知，即，，即,

∵在橢圓上，∴，

所以橢圓方程為.

（2）存在

設(shè)，∵

∴,

∴①

∴，

聯(lián)立 ∴②

∴

∴

∴

若平分線段，則

即，， ∴

∵ 把①，②代入，得

所以直線的方程為或