Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx+φ）﹣b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是 ，若將f（x）的圖象先向右平移 個單位，再向上平移 個單位，所得函數g（x）為奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的對稱軸及單調區間；
（3）若對任意x∈[0， ]，f2（x）﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ω=2∴f（x）=sin（2x+φ）﹣b．

又 為奇函數，且0＜φ＜π，則 ， ，故

（2）解：令2x+ =kπ+ ，求得 ，k∈Z，可得f（x）的圖象的對稱軸為 ，k∈Z．

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函數的增區間為 ．

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函數的減區間為

（3）解：由于 ，故 ，∵f2（x）﹣（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，

整理可得 ．

由 ，得： ，故 ，

即m取值范圍是

【解析】（1）利用正弦函數的周期性、奇偶性，求得ω和φ的值，可得f（x）的解析式．（2）利用正弦函數的單調性求得函數f（x）的單調區間．（3）利用正弦函數的定義域和值域，函數的恒成立問題，求得m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．