Question

【題目】已知函數f（x）= ，g（x）=lnx，其中e為自然對數的底數．
（1）求函數y=f（x）g（x）在x=1處的切線方程；
（2）若存在x1 ， x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ為常數，求證：λ＞e；
（3）若對任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）g（x）= ，y′= ，

x=1時，y=0，y′= ，

故切線方程是：y= x﹣

（2）解：證明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，

得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），

令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+ ，（x＞0），

h′（x）= ，

令ω（x）=ex﹣λx，則ω′（x）=ex﹣λ，

由x＞0，得ex＞1，

①λ≤1時，ω′（x）＞0，ω（x）遞增，

故h′（x）＞0，h（x）遞增，不成立；

②λ＞1時，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，

故ω（x）在（0，lnλ）遞減，在（lnλ，+∞）遞增，

∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，

令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），

則m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）遞減，

又m（e）=0，

若λ≤e，則m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）遞增，不成立，

若λ＞e，則m（λ）＜0，函數h（x）有增有減，滿足題意，

故λ＞e

（3）解：若對任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，

即 ﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，

令F（x）= ﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，

F′（x）= ﹣a，F′（1）= ﹣a，

①F′（1）≤0時，a≥ ，F′（x）≤ 遞減，

而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F（x）遞增，F（x）≤F（1）=0，成立，

②F′（1）＞0時，則必存在x0，使得F′（x）＞0，F（x）遞增，F（x）＜F（1）=0不成立，

故a≥

【解析】（1）求出函數的導數，計算x=1時y和y′的值，求出切線方程即可；（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+ ，（x＞0），求出函數的導數，通過討論λ的范圍，求出函數的單調區間，從而證明結論即可；（3）問題轉化為 ﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）= ﹣a（x﹣1），根據函數的單調性求出a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．