Question

【題目】如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA = AB = 2，BC = 4， E是PD的中點，

（1）求證： 平面EAC；

（2）求證：平面PDC⊥平面PAD；

（3）求多面體的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）4

【解析】試題分析：

(1)做出輔助線，由結合線面平行的判斷定理即可證得平面EAC；

(2)由題意可證得CD⊥平面PAD，結合面面垂直的判斷定理即可證得平面PDC⊥平面PAD；

(3)將原問題轉化為組合體體積之差的問題，分別求解體積值可得多面體的體積是4.

試題解析：

（1）連接BD交AC于點G,連接EG，因為E為PD的中點，G為BD的中點，

所以,又因為, ，

所以.

（2），，.

　　　 , . 而, 平面

. .

（3）,因為E為PD的中點， ,

所以點E到平面ADC的距離是,即 ,

所以