Question

【題目】已知數列滿足：

（1）求的值；

（2）求證：數列是等比數列；

（3）令（），如果對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是以為首相為公比的等比數列；

（3）

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法，令可求；

（2）將等式寫到，再將得到的式子與已知等式聯立，兩式再相減，根據等比數列的定，可證明是以為首相為公比的等比數列；

（3）由（2）可寫出，利用數列的單調性當時，，當時，，因此，數列的最大值為，則可解的的范圍.

試題解析：（1）

（2）由題可知： ①

②

②-①可得 即：，又

∴數列是以為首項，以為公比的等比數列

（3）由（2）可得，

由可得

由可得,所以

故有最大值

所以，對任意，有

如果對任意，都有，即成立，

則，故有：，解得或

∴實數的取值范圍是