Question

【題目】已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．
（1）證明：當0≤x≤1時，
（i）函數(shù)f（x）的最大值為|2a﹣b|+a；
（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；
（2）若﹣1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2﹣ ）

當b≤0時，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a﹣b|﹢a；

當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，f'（x）在區(qū)間[0，1]先負后可能正，f（x）圖象在[0，1]區(qū)間內(nèi)是凹下去的，所以最大值正好取在區(qū)間的端點，此時最大值為：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a；

綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a；

（ⅱ） 要證f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即證g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．

亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a，

∵g（x）=﹣4ax3+2bx+a﹣b，∴令g′（x）=﹣12ax2+2b=0，

當b≤0時， ；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，

此時g（x）的最大值為：g（0）=a﹣b＜3a﹣b=|2a﹣b|﹢a；

當b＞0時，g′（x）在0≤x≤1上的正負性不能判斷，

∴g（x）max=max{g（ ），g（1）}={ }=

∴g（x）max≤|2a﹣b|﹢a；

綜上所述：函數(shù)g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．

即f（x）+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．

（2）解：由（1）知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．

∵﹣1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，

∴|2a﹣b|﹢a≤1．

取b為縱軸，a為橫軸，則可行域為： 或 ，目標函數(shù)為z=a+b．

作圖如右：

由圖易得：a+b的取值范圍為（﹣1，3]

【解析】（Ⅰ）（ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：當b≤0時，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a﹣b|﹢a；當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a，由此可得結(jié)論；（ⅱ） 利用分析法，要證f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即證g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a﹣b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．根據(jù)﹣1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，可得|2a﹣b|﹢a≤1，從而利用線性規(guī)劃知識，可求a+b的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．