已知函數
的定義域為
，且同時滿足以下三個條件：①
；②對任意的
，都有
；③當
時總有
.
（1）試求
的值；
（2）求的最大值；
（3）證明：當
時，恒有
.
（1）
；（2）
；（3）.
解析試題分析：（1）抽象函數求在特殊點的值，一般用賦值法，令
代入抽象函數可得
，又因為
，可得.（2）在定義域內求抽象函數最值，一般先判斷函數單調性，再求比較定義域端點的函數值和極值點的大小.證明單調性可令
，代入得
進而得函數為增函數，最大值為；
（3）在上證不等式，要分兩段
、
.在上
，
，所以
.在
，
，所以，進而得證.
試題解析：（1）令則有
，所以有，有根據條件?可知，故.（也可令
）
方法一：設，則有，即為增函數（嚴格來講為不減函數），所以
，故.
方法二：不妨令
，所以由?
，即增函數（嚴格來講為不減函數），所以，故.
（3）當，有，又由?可知，所以有對任意的恒成立.當，又由?可知
，所以有對任意的恒成立.綜上，對任意的時，恒有.
考點：1.抽象函數求值和單調性；2.證明不等式.
新課標同步訓練系列答案
一線名師口算應用題天天練一本全系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本為
，當年產量不足80千件時，
（萬元）.當年產量不小于80千件時，
（萬元）.每件商品售價為500元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某廠生產某種產品的年固定成本為
萬元，每生產
千件，需另投入成本為
．當年產量不足
千件時，
(萬元)．當年產量不小于千件時，
(萬元)．每件商品售價為
萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．
(1)寫出年利潤
(萬元)關于年產量(千件)的函數解析式；
(2)年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器（如下圖）。設容器高為
m,蓋子邊長為
m,
（1）求關于的解析式；
（2）設容器的容積為V m3,則當h為何值時，V最大？ 并求出V的最大值（求解本題時，不計容器厚度）.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對于函數
若存在
,使得
成立,則稱
為的不動點.
已知
(1)當
時,求函數
的不動點;
(2)若對任意實數
,函數恒有兩個相異的不動點,求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若
圖象上
、
兩點的橫坐標是函數的不動點,且、兩點關于直線
對稱,求的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
張林在李明的農場附近建了一個小型工廠，由于工廠生產須占用農場的部分資源，因此李明每年向張林索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入．工廠在不賠付農場的情況下，工廠的年利潤
（元）與年產量
（噸）滿足函數關系
．若工廠每生產一噸產品必須賠付農場
元（以下稱為賠付價格）．
（Ⅰ）將工廠的年利潤
（元）表示為年產量（噸）的函數，并求出工廠獲得最大利潤的年產量；
（Ⅱ）若農場每年受工廠生產影響的經濟損失金額
（元），在工廠按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，農場要在索賠中獲得最大凈收入，應向張林的工廠要求賠付價格是多少？
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，若方程
在
上有且僅一個實根，求實數
的取值范圍；
時，求函數
在
上的最大值.
.
時，求
的值域；
，當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍.
，當
時，
．
；
成立，請先求出
的值，并利用
的表達式．