Question

【題目】某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關系式，其中為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品13千克.

（1）求的值；

（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

Answer 1

【答案】（1）6（2）x=4,46

【解析】

（1）由f（5）＝13代入函數的解析式，解關于a的方程，可得a值；

（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤＝每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．

解：（1）因為x＝5時，y＝13，所以10＝13，故a＝6，

（2）由（Ⅰ）可知，該商品每日的銷售量y

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

從而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）

于是，當x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值46	單調遞減

由上表可得，x＝4是函數f（x）在區間（3，6）內的極大值點，也是最大值點．

所以，當x＝4時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于46

答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.