Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx在x=2處取得極值為﹣16
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax3+bx的導數為f′（x）=3ax2+b，

由于f（x） 在x=2處取得極值為﹣16

故有f（2）=﹣16，且f′（2）=0

即12a+b=0且8a+2b=﹣16，

解得a=1，b=﹣12

（2）解：由（1）知 f（x）=x3﹣12x的導數為f′（x）=3x2﹣12，

令f′（x0=0，得x1=﹣2，x2=2，

當f′（x）＞0，即x＜﹣2或x＞2時，函數f（x）為增函數；

當f′（x）＜0，即﹣2＜x＜2時，函數f（x）為減函數．

則f（x）的增區間為（﹣∞，﹣2），（2，+∞），減區間為（﹣2，2）

【解析】（1）求得函數f（x）的導數，由題意可得f（2）=﹣16，且f′（2）=0，解a，b的方程組，即可得到a，b的值；（2）求出f（x）的導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．