Question

如圖，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是邊長為1的正方形，EB⊥底面ABC，若G，F分別是EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥底面ABC；
(2)求證：AC⊥平面EBC；

Answer 1

（1）先證明GF//AC，再根據線面平行的判定定理即可證明
（2）先證BE⊥AC，再證AC⊥BC，根據線面垂直的判定定理即可證明

試題分析：(1)連接AE，如下圖所示．
∵ADEB為正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點，
又G是EC的中點，∴GF∥AC，
又AC?平面ABC，GF平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝AB，∴CA²＋CB²＝AB²，∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
點評：要證明線面平行與線面垂直，就要緊扣相應的判定定理和性質定理，定理中要求的條件缺一不可.