Question

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，
，．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；

Answer 1

（1）取中點，連結，．證得，由四邊形為直角梯形，得到，證得平面．推出 ．
（2）直線與平面所成角的正弦值為．

試題分析：（1）證明：取中點，連結，．

因為，所以            2分
因為四邊形為直角梯形，
，，
所以四邊形為正方形，所以．     4分
所以平面．   
所以 ．            6分        
（2）解法1：因為平面平面，且
所以BC⊥平面                          8分
則即為直線與平面所成的角               9分
設BC=a，則AB=2a，，所以
則直角三角形CBE中，          。11分
即直線與平面所成角的正弦值為．            。12分
解法2：因為平面平面，且 ，

所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系． 因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，
則．
所以 ，平面的一個法向量為．
設直線與平面所成的角為，
所以 ，           
即直線與平面所成角的正弦值為．（參照解法1給步驟分）     12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離及體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題給出了兩種解法，便于比較借鑒。