Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）當時，設為函數圖象上任意一點.直線的斜率為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析

【解析】

(1)由，分與兩類討論，可求得函數在上的單調區間.
(2)由已知，即證,由于，即證，①設，②構造函數，利用導數研究這兩個函數的單調性及函數取值情況，可證結論.

（1）∵，

∴，

當時，，函數在上單調遞減；

當時，由，得(舍負)

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增.

（2）證明：由已知，即證.

∵，

∴即證，

①設，

∴， ∴，

∵，

∴，∴為增函數

∴， ∴為增函數

∴，

∴，

即，即，

∴，即，

②構造函數，

∵，

， ∴，

∴在上為減函數，

∴，∴在上為減函數，∴，

∴，

∴，即成立.

由①②可知， ∴成立.