Question

【題目】動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為4.

（1）若動圓圓心的軌跡為曲線，求曲線的方程；

（2）在曲線的對稱軸上是否存在點，使過點的直線與曲線的交點滿足為定值？若存在，求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在點，定值為.

【解析】

（1）設，由題意知：，利用距離公式及弦長公式可得方程，化簡可得P的軌跡方程；

（2）假設存在，設，由題意知直線的斜率必不為0，設直線的方程，與拋物線聯立，利用根與系數關系可求得，當時，上式，與無關，為定值.

（1）設，由題意知：.

當點不在軸上時，過做，交于點，則為的中點，

，.

又，

，化簡得；

當點在軸上時，易知點與點重合.也滿足，

曲線的方程為.

（2）假設存在，滿足題意.

設.由題意知直線的斜率必不為0，

設直線的方程為.

由得.，.

，.

，

，

，

.

，

當時，上式，與無關，為定值.

存在點，使過點的直線與曲線的交點滿足為定值.