Question

已知P為拋物線x²=2py（p＞0）上的動點，F為拋物線的焦點，過F作拋物線在P點處的切線的垂線，垂足為G，則點G的軌跡方程為（　　）

• A、x²+y²=p²
• B、y=-

  p

  2

• C、x2+(y-

  p

  2

  )2=

  p2

  4

• D、y=0

Answer 1

分析：先設出點G，P的坐標，再由拋物線的方程求出焦點F的坐標并將x表示成y的函數后進行求導，進而得到在P點的切線的斜率，根據在P點的切線的斜率等于由兩點表示出直線PG的斜率進而得到一個關系式，根據FG⊥PG得到直線FG的斜率和直線PG的斜率的關系式，最后根據拋物線的關系確定答案．

解答：解：設G（x，y），P（x₀，y₀）
由題意可知 F（0，

p

2

），y=

x2

2p

，∴y'=

x

p

，則在P點處的切線的斜率等于

x0

p

故k_PG=

x0

p

=

y-y0

x-x0

①
∵FG⊥PG∴k_FG=

y- p 2

x

×

x0

p

=-1   ②y0=

x02

2p

③
聯立①②③可消去p，x₀，得到y=0
故選D．

點評：本題主要考查拋物線的基本性質和直線和拋物線的綜合問題．考查綜合運用能力和計算能力．