Question

【題目】設(shè)為常數(shù)，函數(shù).給出以下結(jié)論：

①若，則在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；

②若，則存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)， ；

③若，則當(dāng)時(shí)，.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意可得f（x）過原點(diǎn)，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性、極值和最值，即可判斷①；結(jié)合最小值小于0，以及x的變化可判斷②③．

函數(shù)f（x）＝ex（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒過原點(diǎn)，

①，若a＞1，由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex（x﹣a+1），

即有x＞a﹣1時(shí)，f（x）遞增；x＜a﹣1時(shí)，f（x）遞減，

可得x＝a﹣1處取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣ea﹣1，

由ex≥x+1，可得a﹣ea﹣1＜0，又f(a)=a>0

則f（x）在區(qū)間（a﹣1，a）上有唯一零點(diǎn)，故正確；

②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值為f（a﹣1）＜0，

且x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，可得存在實(shí)數(shù)x0，當(dāng)x＜x0時(shí)，f（x）＞0，故正確；

③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值為f（a﹣1）＜0，且x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞，

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，故正確．

故選：D．