Question

曲線C：f（x）=ax³+bx²+cx+d關于原點成中心對稱，f（x）_極小=f（1）=-

2

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在曲線C上是否存在點P，使過P點的切線與曲線C除P點以外不再有其它公共點？證明你的結論．

Answer 1

分析：1）由函數f（x）圖象關于原點對稱，知對任意實數x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f'（x）=x²-1，得過P點的切線斜率為k及切線方程，與曲線C的方程聯立，考查解的個數，即得到正確的結論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象關于原點成中心對稱，
∴對任意實數x，有f（-x）=-f（x），
即-ax³+bx²-cx+d=-（ax³+bx²+cx+d），
∴2bx²+2d=0對任意x∈R都成立，
∴b=d=0；
又∵f（x）_極小=f（1）=-

2

3

，
∴f′（x）=3ax²+c，
即3a+c=0，且a+c=-

2

3

；
解得a=

1

3

，c=-1；
∴f（x）=

1

3

x³-x．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
∴過P點的切線斜率為k=f′（x₀）=x02-1，
∴切線方程為y-y₀=（x02-1）（x-x₀）①；
又點P（x₀，y₀）在曲線C上，∴y₀=

1

3

x03-x₀②；
曲線C：y=

1

3

x³-x③；
由①②③化簡得：

1

3

x³-x02x+

2

3

x03=0；
考查函數g（x）=

1

3

x³-x02x+

2

3

x03，
∵g′（x）=x²-x02，
當x₀=0時，g′（x）≥0，g（x）是R上的增函數，有唯一零點x=x₀=0，
則過該點P（0，0）的切線y=-x與曲線C除P點以外不再有其它公共點．如圖，

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數最值的應用問題以及利用導數求曲線上的斜率與切線方程問題，是綜合性強，難度大的題目．