Question

【題目】在三棱錐A﹣BCD中，點A在BD上的射影為O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，AC= ．

（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）若E是AC的中點，求直線BE和平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，由點A在BD上的射影為O，可得

AO⊥BD，

由∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，可得

BD= =4，AO= = = ，

同理可得CO= ，由AO2+CO2=AC2，可得AO⊥CO，

又BD，CO平面BCD，且BD，CO為相交二直線，

可得AO⊥平面BCD；

（2）解：取CO的中點H，連接EH，

由中位線定理可得EH∥AO，EH= AO，

由AO⊥平面BCD，可得EH⊥平面BCD，

即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．

又EH= ，BE= = = ，

BH= = = ，

可得tan∠EBH= = ．

即有直線BE和平面BCD所成角的正切值為 ．

【解析】（1）連接OC，由題意可得AO⊥BD，由勾股定理的逆定理可得AO⊥CO，運用線面垂直的判定定理，即可得證；（2）取CO的中點H，連接EH，運用中位線定理和線面垂直的性質定理，可得EH⊥平面BCD，即有∠EBH為直線BE和平面BCD所成角．運用正切函數的定義，計算即可得到所求值．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．