Question

【題目】如圖所示，在中， 的中點(diǎn)為,且，點(diǎn)在的延長線上，且.固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得圓與邊，邊的延長線相切，并始終與的延長線相切于點(diǎn)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸， 為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行分析探求；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解：

（Ⅰ）依題意得，設(shè)動(dòng)圓與邊的延長線相切于，與邊相切于， 則

所以

所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，且挖去長軸的兩個(gè)頂點(diǎn).則曲線的方程為.

由于曲線要挖去長軸兩個(gè)頂點(diǎn)，所以直線斜率存在且不為，所以可設(shè)直線

由得,，同理可得： ,；

所以，

又，所以令，

則且，所以

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以面積的取值范圍為.

【法二】

依題意得直線斜率不為0，且直線不過橢圓的頂點(diǎn)，則可設(shè)直線： ，且。

設(shè)，又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以

由得，則

且，所以

又

代入①得： ，所以，

代入②得： 恒成立所以且.

又；

點(diǎn)到直線的距離為，

所以

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）當(dāng)且時(shí)，

，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，

所以，所以，

所以，所以；

綜合（1），（2）知.