Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，左頂點為，左焦點為，點在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點，直線， 分別與軸交于點， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）經過兩定點， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點為，所以．由點在橢圓上，得，進而解出得到橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓聯立，解得的坐標（用表示），設出， 的方程，解出的坐標，圓方程用表示，最后可求得為直徑的圓經過兩定點.

試題解析：（Ⅰ） 設橢圓的方程為，

因為橢圓的左焦點為，所以．

因為點在橢圓上，所以．

由①②解得， ， ．

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）因為橢圓的左頂點為，則點的坐標為．

因為直線與橢圓交于兩點， ，

設點（不妨設），則點．

聯立方程組消去得．

所以，則．

所以直線的方程為．

因為直線， 分別與軸交于點， ，

令得，即點．

同理可得點．

所以．

設的中點為，則點的坐標為．

則以為直徑的圓的方程為 ，

即．

令，得，即或．

故以為直徑的圓經過兩定點， ．