Question

【題目】已知圓

(1)求過點的圓的切線方程；

(2)點為圓上任意一點，求的最值．

Answer 1

【答案】(1) 和 (2)的最大值為；的最小值為

【解析】

(1)本題首先可以確定圓的圓心以及半徑，然后根據題意分為直線斜率存在以及不存在兩種情況，最后根據圓心到切線距離等于半徑即可列出算式并得出結果；

(2)本題首先可明確為原點到圓上一點的直線的斜率，然后結合圖像得出當圓與直線相切時斜率取最值，最后根據圓心到切線距離等于半徑即可得出結果．

(1)因為圓的方程為，即，

所以圓心為，半徑為，

①當切線斜率不存在時，

因為直線過點，所以直線方程為，即

圓心到直線距離，所以直線是圓的切線，

②當切線斜率存在時，設切線斜率為，

則切線方程為，即

因為圓心到切線距離等于半徑，

所以，解得，此時切線方程為，

綜上所述，過點的圓的切線方程為和．

(2)因為即，為圓上任意一點，

所以即原點到圓上一點的直線的斜率，

令，則原點到圓上一點的直線的方程為，即

如圖所示，當圓與直線相切時，斜率取最值，

則有圓心到切線距離等于半徑，即，解得或，

所以斜率的最大值，斜率的最小，

所以的最大值為；的最小值為．