Question

（本小題滿分14分）已知，函數(shù)．
（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（3）對(duì)（2）中的，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

，

解：（1）∵，∴.……………………1分
∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，∴在上恒成立． 2分
即在上恒成立，…………………………………………………3分
，∴．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………………………………………………4分
（2）∵，令得．………………5分
①若，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以．………………………………………………………………6分
②若，即，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以．……………………………………………………………7分
③若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．
所以．…………………………………………………………8分
④若，即，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．
所以．………………………………………………………………9分
綜上所述，函數(shù)在區(qū)間的最小值…10分
（3）由題意有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
即
（2）中函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)
不同的交點(diǎn)．…………………………………………………………11分
而直線恒過定點(diǎn)，
由右圖知實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………………14分