Question

【題目】已知、分別是橢圓的左頂點、右焦點，點為橢圓上一動點，當軸時， .

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓存在點，使得四邊形是平行四邊形（點在第一象限），求直線與的斜率之積；

（3）記圓為橢圓的“關聯圓”. 若，過點作橢圓的“關聯圓”的兩條切線，切點為、，直線的橫、縱截距分別為、，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析．

【解析】試題分析：

(1)利用題意得到關于的齊次方程，求解方程組可得橢圓的離心率；

(2) 由題意， ， ，則，結合(1)的結論可得.

(3) 由（1）知橢圓方程為，圓的方程為.

四邊形的外接圓方程為，

所以，因為點在橢圓上，則.

試題解析：

解：（1）由軸，知，代入橢圓的方程，

得，解得.

又，所以，解得.

（2）因為四邊形是平行四邊，所以且軸，

所以，代入橢圓的方程，解得， 因為點在第一象限，所以，同理可得， ， 所以，

由（1）知，得，所以.

（3）由（1）知，又，解得，所以橢圓方程為，

圓的方程為 ①. 連接，由題意可知， ， ，

所以四邊形的外接圓是以 為直徑的圓，

設，則四邊形的外接圓方程為，

即　　②. ①－②，得直線的方程為，

令，則；令，則. 所以，

因為點在橢圓上，所以，所以.