Question

【題目】設拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，已知以點為圓心， 為半徑的圓交于兩點.

（Ⅰ）若， 的面積為4，求拋物線的方程；

（Ⅱ）若三點在同一條直線上，直線與平行，且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ， .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結合拋物線的對稱性可知是等腰三角形，設準線與軸交于點，結合拋物線的性質可得，求解關于實數p的方程可得拋物線方程為；

(Ⅱ)由對稱性不妨設，則，結合中點坐標公式有B，由拋物線準線方程的性質有，則A， ，結合導函數的性質可得切點坐標為，則直線的方程為， .

試題解析：

（Ⅰ）由對稱性知， 是等腰三角形.

∵，點到準線的距離為，設準線與軸交于點，

即， ，

∴.

∴拋物線方程為；

（Ⅱ）由對稱性不妨設，則.

∵點關于點對稱，

∴點的坐標為.

∵點在準線上，

∴.

∴.

∴點坐標為.

∴.

又∵直線與直線平行，

∴.

由已知直線與拋物線相切，設切點為，

∴.

∴.

∴切點.

∴直線的方程為，即.

由對稱性可知，直線有兩條，分別為， .