Question

【題目】設△ABC是邊長為4的正三角形，點P1 ， P2 ， P3 ， 四等分線段BC（如圖所示）

（1）P為邊BC上一動點，求 的取值范圍？
（2）Q為線段AP1上一點，若 =m + ，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以BC所在直線為x軸，AP2所在直線為y軸，

P2為坐標原點，建立直角坐標系，

則A（0，2 ），B（﹣2，0），C（2，0），P1（﹣1，0），

設P（t，0）（﹣2≤t≤2），則 =（﹣t，2 ）， =（2﹣t，0），

可得 =﹣t（2﹣t）+2 0=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，（﹣2≤t≤2），

t=1時，取得最小值﹣1；t=﹣2時，取得最大值8．

則 的取值范圍為[﹣1，8]

（2）解：設Q（x，y），由A，Q，P1共線，

可得 = ，

即有y=2 x+2 ，

則 =（x，2 x）， =（﹣2，﹣2 ）， =（2，﹣2 ），

若 =m + ，

則 ，

解得m= ．

【解析】（1）以BC所在直線為x軸，AP2所在直線為y軸，P2為坐標原點，建立直角坐標系，求得A，B，C，P1 ， 的坐標，求得向量PA，PC的坐標，運用數量積的坐標表示，再由二次函數在閉區間上的值域求法可得；（2）設Q（x，y），由A，Q，P1共線，運用斜率相等，求得y關于x的式子，再分別求得向量AQ，AB，AC的坐標，得到m，x的方程組，即可解得m的值．