Question

設復數z=x+yi（x，y∈R）與復平面上點P（x，y）對應．
（1）設復數z滿足條件|z+3|+（-1）ⁿ|z-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*，常數a∈ (

3

2

 ， 3)），當n為奇數時，動點P（x，y）的軌跡為C₁；當n為偶數時，動點P（x，y）的軌跡為C₂，且兩條曲線都經過點D(2，

2

)，求軌跡C₁與C₂的方程；
（2）在（1）的條件下，軌跡C₂上存在點A，使點A與點B（x₀，0）（x₀＞0）的最小距離不小于

2 3

3

，求實數x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方法1：分n為奇數、偶數，結合雙曲線、橢圓的定義，聯立方程組，即可求出軌跡C₁與C₂的方程；
方法2：先確定軌跡為C₁與C₂都經過點D(2，

2

)，且點D(2，

2

)對應的復數z=2+

2

i，再結合雙曲線、橢圓的定義，即可求出軌跡C₁與C₂的方程；
（2）表示出點A與點B（x₀，0）（x₀＞0）距離，利用最小距離不小于

2 3

3

，建立不等式，即可求實數x₀的取值范圍

解答：解：（1）方法1：①當n為奇數時，|z+3|-|z-3|=2a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)，
軌跡C₁為雙曲線，其方程為

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；…（3分）
②當n為偶數時，|z+3|+|z-3|=4a，常數a∈ (

3

2

 ， 3)，
軌跡C₂為橢圓，其方程為

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；…（6分）
依題意得方程組

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

，解得a²=3，
因為

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此時軌跡為C₁與C₂的方程分別是：

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0），

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
方法2：依題意得

|z+3|+|z-3|=4a |z+3|-|z-3|=2a

⇒

|z+3|=3a |z-3|=a

…（3分）
軌跡為C₁與C₂都經過點D(2，

2

)，且點D(2，

2

)對應的復數z=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，…（6分）
即|z+3|-|z-3|=2

3

對應的軌跡C₁是雙曲線，方程為

x2

3

-

y2

6

=1（x＞0）；
|z+3|+|z-3|=4

3

對應的軌跡C₂是橢圓，方程為

x2

12

+

y2

3

=1．…（9分）
（2）由（1）知，軌跡C₂：

x2

12

+

y2

3

=1，設點A的坐標為（x，y），
則|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-

1

4

x2=

3

4

x2-2x0x+

x

2 0

+3=

3

4

(x-

4

3

x0)2+3-

1

3

x

2 0

，x∈[-2

3

，2

3

]…（12分）
當0＜

4

3

x0≤2

3

即0＜x0≤

3 3

2

時，|AB|2min=3-

1

3

x

2 0

≥

4

3

⇒0＜x0≤

5

當

4

3

x0＞2

3

即x0＞

3 3

2

時，|AB|min=|x0-2

3

|≥

2 3

3

⇒x0≥

8 3

3

，…（16分）
綜上，0＜x0≤

5

或x0≥

8 3

3

．…（18分）

點評：本題考查軌跡方程，考查雙曲線、橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．