Question

【題目】定義域為R的函數f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），且其導函數f′（x）滿足（x﹣2）f′（x）＞0，則當2＜a＜4時，有（ ）
A.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）
B.f（2）＜f（2a）＜f（log2a）
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）對任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），∴函數f（x）對任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），
∴函數f（x）的對稱軸為x=2
∵導函數f′（x）滿足（x﹣2）f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，（﹣∞，2）上單調遞減
∵2＜a＜4
∴4＜2a＜16
∵函數f（x）的對稱軸為x=2
∴f（log2a）=f（4﹣log2a）
∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2
∴2＜4﹣log2a＜3
∴2＜4﹣log2a＜2a
∴f（2）＜f（4﹣log2a）＜f（2a），
∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），
故選C
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．