Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，．

（1）證明：點在底面上的射影必在直線上；

（2）若二面角的大小為，，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）先證明平面，可得平面平面，由面面垂直的性質定理可得點在底面上的射影必在直線上；（2）是二面角的平面角，，在平面內過點作，以為軸建系，求出的方向向量，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）因為，

所以平面．

所以平面平面．

過點作，則由面面垂直的性質定理可知．

又，所以重合，

所以點在底面上的射影必在直線上．

（2）是二面角的平面角，．

法一：連接，．

平面平面平面．

作．

是直線與平面所成角．

．

又，．

法二：在平面內過點作，以為軸建系．則

所以

由可以求得平面的法向量．

所以．