Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣e（x+1）lna﹣ （a＞0，且a≠1），e為自然對數的底數．
（1）當a=e時，求函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值
（2）若函數f（x）只有一個零點，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=e時，f（x）=ex﹣e（x+1）lne﹣ =ex﹣e（x+1）﹣ ，

∴f′（x）=ex﹣e，

令f′（x）=0，解得x=1，

當x∈[0，1]時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

∵f（0）=1﹣e﹣ ，f（2）=e2﹣3e﹣ ，

∴f（2）﹣f（0）=e2﹣3e﹣ ﹣1+e+ =e2﹣2e﹣1＞0，

∴函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值為e2﹣3e﹣

（2）解：f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e），

當0＜a＜1時，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＞0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＜0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上為減函數，在（ ，+∞）上為增函數，

∴當x= 時函數取得最小值為f（ ）= = ．

要使函數f（x）只有一個零點，則 ，得a= ；

當a＞1時，由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＜0，得ax﹣e＜0，即x ．

由f′（x）=axlna﹣elna=lna（ax﹣e）＞0，得ax﹣e＞0，即x ．

∴f（x）在（﹣∞， ）上為減函數，在（ ，+∞）上為增函數，

∴當x= 時函數取得最小值為f（ ）= = ．

要使函數f（x）只有一個零點，則 ，得a= （舍）．

綜上，若函數f（x）只有一個零點，則a=

【解析】（1）把a=e代入函數解析式，求出導函數的零點，可得原函數在[0，1]上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，結合f（2）﹣f（0）＞0，可得函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值；（2）求出原函數的導函數，分0＜a＜1和a＞1求得原函數的最小值，由最小值等于0求得a值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．