Question

【題目】已知函數，其中，且

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設，若存在極大值，且對于的一切可能取值， 的極大值均小于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）

【解析】試題分析：

（1）計算出導數，由不等式得增區間，由得減區間，注意要按的正負分類討論， 的正負對定義域有影響；

（2）求出導數，因此必須有， 才能有兩個不等實根， 的兩實根為， ，極大值為，由求根公式得，令（作為的函數），同理由導數知識得在上單調遞減，從而，由可得的范圍．

試題解析：

（1） 時， ，故

當時， ，由，得得

因此的單調遞增區間為： ，單調遞減區間為：

當時， ，由得，由得

因此單調遞增區間為，單調遞減區間為

（2）由題，顯然，設的兩根為，則當或時， ，當時， ，故極大只可能是，且，知，又，故，且，

從而令，

則，

故在單減，從而，

因此，解得