Question

【題目】某電視臺舉行電視奧運知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為 ． （Ⅰ）求選手甲可進入決賽的概率；
（Ⅱ）設選手甲在初賽中答題的個數為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）選手甲答3道題可進入決賽的概率為 ；

選手甲答4道題可進入決賽的概率為 ；

選手甲答5道題可進入決賽的概率為 ；

∴選手甲可進入決賽的概率 + + = ．

（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．則有 ， ， ，

因此，有

ξ	3	4	5
p

∴ ．

【解析】（Ⅰ）由于答對3題者直接進入決賽，故可分為三類：一類是三題全對；一類是答4題，前3題錯一題，第4題答對；一類是答5題，前4題錯兩題，第5題答對，故可求求選手甲可進入決賽的概率；（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為3，4，5．利用獨立重復試驗的概率公式分別求出相應的概率，從而得出ξ的分布列，進而可求概率．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．