Question

若不等式x⁴-4x³＞2-a對任意實數x都成立，則實數a的取值范圍

（29，+∞）

．

Answer 1

分析：不等式恒成立，即較大的一邊所取的最小值也大于較小的一邊的最大值．因此記不等式的左邊為F（x），利用導數工具求出它的單調性，進而得出它在R上的最小值，最后解右邊2-a小于這個最小值，即可得出答案．

解答：解：記F（x）=x⁴-4x³
∵x⁴-4x³＞2-a對任意實數x都成立，
∴F（x）在R上的最小值大于2-a
求導：F′（x）=4x³-12x²=4x²（x-3）
當x∈（-∞，3）時，F′（x）＜0，故F（x）在（-∞，3）上是減函數；
當x∈（3，+∞）時，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函數．
∴當x=3時，函數F（x）有極小值，這個極小值即為函數F（x）在R上的最小值
即[F（x）]_min=F（3）=-27
因此當2-a＜-27，即a＞29時，等式x⁴-4x³＞2-a對任意實數x都成立
故答案為：（29，+∞）

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值、函數恒成立問題等等知識點，屬于中檔題．