Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）2﹣ ． （Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x1 ， x2 ， 證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， f'（x）=0x=1，當x∈（﹣∞，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞增
（Ⅱ）證明： ，f（0）=1，不妨設x1＜x2 ，
又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，
又函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，
所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等價于f（x1）＜f（2﹣x2），
即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．
又 ，而 ，
所以 ，
設g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 則g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．
當x∈（1，+∞）時g'（x）＞0，而g（1）=0，故當x＞1時，g（x）＞0．
而 恒成立，
所以當x＞1時， ，
故x1+x2＞2．
【解析】（Ⅰ）求出導函數，求出極值點，判斷導函數的符號，推出函數的單調性即可．（Ⅱ）不妨設x1＜x2 ， 推出0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，利用函數f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減，得到x1＞2﹣x2 ， 轉化為：0=f（x1）＜f（2﹣x2）．求出 ，構造函數設g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 再利用形式的導數，求出函數的最值，轉化求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．