Question

【題目】橢圓兩焦點分別為、，且離心率；

（1）設E是直線與橢圓的一個交點，求取最小值時橢圓的方程；

（2）已知，是否存在斜率為k的直線l與（1）中的橢圓交于不同的兩點A、B，使得點N在線段AB的垂直平分線上，若存在，求出直線l在y軸上截距的范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，見解析

【解析】

（1）由于，，橢圓方程可化為與直線方程聯立，消去化簡得：，又由，解得，

此時，當且僅當時取等號，此時取最小值．即可得到橢圓方程．

（2）設直線l的方程為，代入橢圓方程可得到一元二次方程，即根與系數的關系，利用中點坐標公式可得線段的中點坐標公式，利用可得與的關系，結合進而得出的取值范圍．當時，容易得出．

解:（1），橢圓方程可化為，與聯立，

消去y化簡得，

又由，解得，

此時，當且僅當時，取最小值，

所以橢圓方程為.

（2）設直線l的方程為，代入，消去y整理得：

∵直線與橢圓交與不同的兩點，

，

即，設，

，，

則AB中點

所以當時，，

化簡得，代入得；

又，所以，故；

當時，，

綜上，時，；時，.