Question

【題目】設數列的前項和，已知，.

（1）求證:數列為等差數列，并求出其通項公式；

（2）設，又對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）已知為正整數且，數列共有項，設，又，求的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；（3）；

【解析】

(1)當時，由所給的遞推關系式進行作差變形證明后項與前項之差為常數即可證得數列為等差數列，進一步可得數列的通項公式；

(2)結合(1)中的通項公式裂項求和，然后結合題意可確定實數的取值范圍；

(3)首先確定數列為等差數列，然后結合數列的單調性確定絕對值符號進行求和，得到關于k的不等式，最后求解關于k的不等式即可確定實數的所有可能取值.

(1)當時，，，

兩式作差得，

故，

所以數列是公差為6的等差數列，

又，

所以；

(2)由于，故.

，

顯然單調遞增，且，

故， 所以.

(3)，則是公差為的等差數列，

故當時，;

當時，，

設數列的前n項和為，于是：

，

注意到，則，題中的不等式即，

所以，

所以，的所有可取值為.