Question

（本題滿分10分）
函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的單調減區間，并指出f(x)的最大值及取到最大值時x的集合；
(3)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應的函數為偶函數？

Answer 1

（1）；
(2)函數f(x)的單調減區間為　(k∈Z)．
函數f(x)的最大值為1，取到最大值時x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(3)至少須左移個單位才能使所對應函數為偶函數

本試題主要考查了三角函數的解析式和其圖像與性質和三角函數函數圖像的變換的綜合運用。
（1）因為由圖像可知周期，得到w，然后利用振幅得到A，代入一個特殊點得到初相的值，得到解析式。
（2）利用三角函數的圖像與性質，求解三角函數的值域，并求解取得最值時自變量的取值集合
（3）根據圖像的平移變換和周期變化和振幅變換可知至少要左移個單位，才能符合題意。
解：（1）從圖知，函數的最大值為1，

則 函數的周期為，而，則，
又時，，而，則，
∴函數的表達式為……4分
(2)由2kπ＋≤≤2kπ＋得，
kπ＋≤x≤kπ＋　(k∈Z)，
∴函數f(x)的單調減區間為　(k∈Z)．
函數f(x)的最大值為1，取到最大值時x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}．……7分
(3)解法一：f(x)＝sin
＝cos＝cos
＝cos，
故至少須左移個單位才能使所對應函數為偶函數．……10分
解法二：f(x)＝sin的圖象的對稱軸方程為＝kπ＋，
∴x＝，當k＝0時，x＝，k＝－1時，x＝，
故至少左移個單位．……10分