Question

（2013•松江區二模）已知函數f(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，設F（x）=x²•f（x），則F（x）是（　　）

A．奇函數，在（-∞，+∞）上單調遞減

B．奇函數，在（-∞，+∞）上單調遞增

C．偶函數，在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增

D．偶函數，在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）為奇函數，利用奇偶函數的概念即可判斷設F（x）=x²•f（x）的奇偶性，從而得到答案．

解答：解：∵f（-x）=

-1，x＞0 0，x=0 1，x＜0

=-

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
又F（x）=x²•f（x），
∴F（-x）=（-x）²•f（-x）=-x²•f（x）=-F（x），
∴F（x）是奇函數，可排除C，D．
又F（x）=x²•f（x）=

x2，x＞0 0，x=0 -x2，x＜0

，
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，可排除A，
故選B．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，著重考查函數奇偶性的定義的應用，屬于基礎題．