Question

【題目】在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐，且 ．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點E，F分別為CD，CB的中點，∴BD∥EF，

∵菱形ABCD的對角線互相垂直，

∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，

∵AO平面POA，PO平面POA，AO∩PO=O，

∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．

（2）解：設AO∩BD=H，連接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，

∴ ，

在Rt△BHO中， ，

在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，

∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF平面BFED，∴PO⊥平面BFED，

以O為原點，OF所在直線為x軸，AO所在直線y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，

則 ．

∴ ，

設平面PAB的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（﹣ ），

∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一個法向量為 =（﹣2，0，0），

設二面角B﹣AP﹣O的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，從而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能證明BD⊥平面POA．（2）設AO∩BD=H，連接BO，以O為原點，OF所在直線為x軸，AO所在直線y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．