Question

【題目】已知函數f（x）=log （x2﹣ax+b）． （Ⅰ）若函數f（x）的定義域為（﹣∞，2）∪（3，+∞），求實數a，b的值；
（Ⅱ）若f（﹣2）=﹣3且f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，不等式x2﹣ax+b＞0 的解集是 （﹣∞，2）∪（3，+∞）， 所以2，3是方程x2﹣ax+b=0 的兩實根，
∴2+3=a且2×3=b，
即a=5，b=6
（Ⅱ）設g（x）=x2﹣ax+b，
由f（﹣2）=﹣3得g（﹣2）=4+2a+b=8，
即a= （4﹣b）
又 f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數，
所以g（x）=x2﹣ax+b在（﹣∞，﹣1]上是減函數且恒為正數，
∴ ，
也即 ，
解得：b∈（﹣6，8]
【解析】（Ⅰ）由題意，不等式x2﹣ax+b＞0 的解集是 （﹣∞，2）∪（3，+∞），所以2，3是方程x2﹣ax+b=0 的兩實根，由韋達定理，可得實數a，b的值；（Ⅱ） 設g（x）=x2﹣ax+b，若f（﹣2）=﹣3且f（x）在（﹣∞，﹣1]上為增函數，則g（﹣2）=8，g（x）=x2﹣ax+b在（﹣∞，﹣1]上是減函數且恒為正數，進而可得實數b的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．