Question

【題目】設為任意給定的質數.證明：一定存在質數，使得對任意的整數，數都不能被整除.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

要找的質數僅和有關，與無關，所以，對任意的正整數，若則.也就是說，若，則.

這樣，問題就轉化為選取適當的，代替來討論.

最簡單的選擇是取.先對此進行試探性討論.有

.

如果找到的質因數，能使得對任意的整數，都不能被整除，那么，就解決了本題.

對的質因數，可分為兩類：

（1）不能被整除.對這些就有，因而，.

（2）被整除.此時，希望對所選取的的質因數加上進一步可實現的條件，能有.

假定這樣的存在，取質數.若存在某個，使得，則.由此及推出.其中，.

注意到，，或.

如果取得到質數，使得，即，則必有.

如果再要求，則有

.

這就滿足本題的要求.

由以上分析知，只要存在質數q滿足條件：

（i）.，（ii），及（iii）.這樣的質數就滿足本題的要求.

下面具體來找這樣的質數.

由前兩個條件啟發，考慮

的質因數.

顯見，這樣的不等于.

若，則由此及

，

推出.矛盾.

所以，滿足條件（i）和（ii）.

又，

所以，必有一個質因數，使得，即這樣的滿足條件（iii）.