Question

（2012•漳州模擬）已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
（I）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；
（Ⅲ）對(duì)?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，確定f'（x）＞0，即可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f（x）=t±1共有三個(gè)根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)t-1＜t+1，可得f（x）=t+1有兩個(gè)根，f（x）=t-1只有一個(gè)根，從而可求t的值；
（Ⅲ）問題等價(jià)于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1．由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中較大的一個(gè)，構(gòu)造函數(shù)可得f（x）的最大值為f（1）=a+1-lna，從而問題轉(zhuǎn)化為a-lna≤e-1，即可求得a的取值范圍．

解答：（I）證明：求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，∴l(xiāng)na＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值1	遞增

因?yàn)楹瘮?shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）=t±1共有三個(gè)根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個(gè)交點(diǎn)．
y=f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，極小值f（0）=1也是最小值，當(dāng)x→±∞時(shí)，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有兩個(gè)根，f（x）=t-1只有一個(gè)根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）
（Ⅲ）解：?jiǎn)栴}等價(jià)于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中較大的一個(gè)，
f(-1)=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，f(1)-f(-1)=a-

1

a

-2lna，
記g(x)=x-

1

x

-2lnx，（x≥1），則g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2≥0（僅在x=1時(shí)取等號(hào)）
∴g(x)=x-

1

x

-2lnx是增函數(shù)，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，g(a)=a-

1

a

-2lna＞g(1)=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值為f（1）=a+1-lna，
故對(duì)?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
當(dāng)x≥1時(shí)，(x-lnx)′=

x-1

x

≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范圍是1＜a≤e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值．