Question

如圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的對應過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上（線段AB）的點M（如圖1）；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合（如圖2）；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上；點A的坐標為（0，1）（如圖3），當點M從A到B是逆時針運動時，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），按此對應法則確定的函數使得m與n對應，即
f（m）=n．

對于這個函數y=f（x），有下列命題：
①； ②f（x）的圖象關于對稱； ③若，則； ④f（x）在（0，1）上單調遞增．
其中正確的命題個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真偽，①因為M在以（1，1-）為圓心，（1-）為半徑的圓上運動，當m=時，點N的坐標為（-1，0），故f（）=-1；②可由圖3中圓關于Y軸的對稱判斷出正誤；③由，得到∠ANO=30°，∠OAN=60°，由此求出x；④可由圖3得到M的運動規律觀察出函數值的變化，得出單調性．
解答：如圖，因為M在以（1，1-）為圓心，（1-）為半徑的圓上運動，
對于①當m=．M的坐標為（-，1-），直線AM方程y=x+1，所以點N的坐標為（-1，0），故f（）=-1，故①正確．
②是正確命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點 對稱．
③是正確命題．∵，
∴∠ANO=30°，∴∠OAN=60°，
∴．
④是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的；
綜上知，①③④是正確命題，
故選D．
點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，較抽象，是難題．