Question

（2011•資陽一模）如圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應于圖③中的弧ADM的長度，如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

給出下列命題：
①f（

1

4

）=1；
②f（x）是奇函數；
③f（x）在定義域上單調遞增；
④f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱． 
則所有真命題的序號是

③④

．（填出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①當m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時可以求出對應直線AM的方程，進而可求n．
②由定義域不關于原點對稱，可判斷函數不是奇函數．
③在圓上，當點M在圓上運動時，N由x的負半軸向正半軸運動時，可判斷函數的單調性．
④根據點M的運動過程，可知函數的對稱性．

解答：解：①因為AB=1，所以圓的周長為1，由2πr=1，所以解得圓的半徑r=

1

2π

，所以圓心坐標為（0，1-

1

2π

），當m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），對應直線AM的方程為y=x+1．當y=0時，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1，所以①錯誤．
②由定義可知函數的定義域為（0，1），關于原點不對稱，所以函數f（x）為非奇非偶函數，所以②錯誤．
③由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增．所以③正確．
④由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，所以④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查了函數的實際應用，考查學生的閱讀和分析能力．本題難度較大，正確閱讀題意是解題的關鍵．