Question

如圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的像就是n，記作f（m）=n．則在下列說法中正確命題的個數為（　　）
①f（

1

4

）=1；②f（x）為奇函數；③f（x）在其定義域內單調遞增；④f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真偽，
①m=

1

4

此時M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標．
②可由偶函數的定義域關于原點對稱來確定正誤，
③可由圖3，由M的運動規律觀察出函數值的變化，得出單調性，
④可由圖3中圓關于Y軸的對稱判斷出正誤

解答：解：由題意①是錯誤命題，因為當m=

1

4

此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時直線AM的方程為y=x+1，即f（

1

4

）=

3

4

；
②是錯誤命題，由函數是奇函數，其定義域必關于原點對稱，而m∈（0，1），不是奇函數；
③是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的；
④是正確命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱
綜上知，③④是正確命題，
故選B．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，題目較抽象．