Question

【題目】設函數 （x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）當﹣1≤t≤1時，要使關于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，求實數k的取值范圍

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知有： =sin2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+1=（sinx﹣t）2+t2﹣6t+1，

由于x∈R，∴﹣1≤sinx≤1，

∴當t＜﹣1時，則當sinx=﹣1時，f（x）min=2t2﹣4t+2；

當﹣1≤t≤1時，則當sinx=t時，f（x）min=t2﹣6t+1；

當t＞1時，則當sinx=1時，f（x）min=2t2﹣8t+2；

綜上，

（2）解：當﹣1≤t≤1時，g（t）=t2﹣6t+1，方程g（t）=kt即t2﹣6t+1=kt，

即方程t2﹣（k+6）t+1=0在區間[﹣1，1]有且僅有一個實根，

令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，則有：

①若△=（k+6）2﹣4=0，即k=﹣4或k=﹣8．

當k=﹣4時，方程有重根t=1；當k=﹣8時，c方程有重根t=﹣1，∴k=﹣4或k=﹣8．

② k＜﹣8或 k＞﹣4，

綜上，當k∈（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞）時，關于t的方程g（t）=kt在區間[﹣1，1]有且僅有一個實根

【解析】（1）首先對函數f（x）進行化簡整理，進而看當t＜﹣1，﹣1≤t≤1和t＞1時時函數f（x）的最小值，進而確定g（t）的解析式．（2）根據（1）可知當﹣1≤t≤1時函數g（t）的解析式，整理g（t）=kt得t2﹣（k+6）t+1=0問題轉化為在區間[﹣1，1]有且僅有一個實根，先根據判別式等于0求得k的值，令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，進而確定函數與x軸的軸有一個交點落在區間[﹣1，1]分別求得k的范圍，最后綜合可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．